Pertemuan   : 1 
                Materi          :  Vektor Pada Bidang ( R2), Bab I. Pendahuluan 
                 
                Standar Kompetensi : 
                Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 
                    1.  Memahami kembali pengertian vektor, operasi pada vektor, dan sifat-sifat operasi 
                        pada vektor. 
                    2.  Penerapan vektor dalam membuktikan masalah-masalah geometri 
                 
                Kompetensi Dasar : 
                Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 
                1.  Menuliskan kembali pengertian vektor secara geometri dan aljabar. 
                2.  Menuliskan kembali pengertian vektor basis, proyeksi skalar/komponen, dan operasi-
                    operasi pada vektor. 
                3.  Membuktikan secara formal sifat-sifat operasi pada vektor 
                 
                Uraian Materi 
                1.1 Pengertian Dasar 
                    Kecepatan  sebuah  mobil  yang  bergerak  dapat  dinyatakan  oleh  sepotong  garis  yang 
                mempunyai arah. Panjang dari garis tersebut menunjukkan besar kecepatan mobil, dan arah 
                panah dari garis tersebut menunjukkan arah gerak mobil. 
                    Kecepatan adalah salah satu contoh vektor dari banyak vektor yang terdapat di bidang 
                Fisika. Contoh-contoh lain dari vektor adalah gaya, percepatan, momentum, dan sebagainya. 
                    Vektor adalah kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah. Maka suatu vektor dapat 
                dinyatakan oleh segmen garis berarah PQ, ditulis 
                                                                   = a  
                dengan a adalah vektor. Pada umumnya vektor akan ditulis dengan huruf kecil yang dicetak 
                tebal, contoh: a, b, ..., atau dengan huruf besar, contoh:             . 
                 
                                            a           B 
                 
                 
                                A 
                 
                Dua  vektor  dikatakan  sama  jika  besar  dan  arahnya  sama,  akibatnya  setiap  vektor  tidak 
                berubah jika bergerak ke posisi baru dengan tidak mengubah besar dan arah. 
                Suatu  vektor  nol  didefinisikan  sebagai  vektor  yang  mempunyai  besaran  nol,  dan  dapat 
                dilukiskan oleh segmen garis terurai          yaitu suatu titik tunggal yang arahnya tak tentu atau 
                memiliki semua arah. 
                 
                 
                 
                 
                           By Lukman, M.Si.                                           Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung     1 
                 
                         1.2 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor 
                               Cara Jajaran Genjang 
                                
                               Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor 
                               tersebut,  kemudian  buat  garis  yang  panjangnya  masing-masing  sama  dengan  panjang 
                               vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang. Maka hasil dari penjumlahan kedua 
                               vektor tersebut adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut 
                               dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut, lihat gambar 1. 
                                
                                
                                                                                                                         a 
                                                 a                                                                          a + b 
                                                        b 
                                                                                                                         b 
                                
                                                                                               Gambar 1 
                                
                                
                               Cara Segitiga 
                                
                               Impitkan  titik  ujung  vektor  a  dengan  titik  pangkal  vektor  b,  maka  vektor  hasil 
                               penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b, lihat 
                               gambar 2. 
                                                                                                       b 
                                
                                                                              a 
                                                                                        a + b  
                          
                                                                                               Gambar 2 
                          
                                     Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a 
                         tapi berlawanan arah. Maka pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan 
                         vektor kedua, yaitu  
                                                                                        a – b = a + (-b) 
                                                                                                     
                         Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan 
                               1.  a + b = b + a  
                               2.  a + (b + c) = (a + b) + c 
                               3.  a + b = c    jika dan hanya jika b = c – a  
                               4.  a + 0 = a, a – a = 0 
                               5.  k(sb) = (ks)b = b(ks) 
                               6.  k(a + b) = ka + kb 
                               7.  (k + s)a = ka + sa 
                               8.  1a = a 
                                        By Lukman, M.Si.                                           Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung     2 
                          
                     Bukti nomor 2 
                                                        (a + b) + c = a + (b + c) 
                      
                                                          a + b               b + c 
                                          a                                                       c 
                                                                      b 
                      
                     1.3 Pendekatan Secara Aljabar 
                          a.  Besar Sebuah Vektor 
                                Besar atau panjang dari sebuah vektor a ditulis | a | atau a. Panjang dari setiap vektor 
                     a dan b mempunyai sifat sebagai berikut: 
                                1.  | a | ≥ 0 ; | a | = 0 jika dan hanya jika a = 0. 
                                2.  |a + b| ≤ | a | + | b | 
                      
                     Bukti nomor 2 
                                            2
                     Diketahui |a + b|  =              +       + 2|a||b|cos, dengan 0 ≤  ≤ . 
                                                                                                                   2
                                       =       +        + 2|a||b| ≥         +        + 2|a||b|cos = |a + b|   | a | + | b | ≥ |a + b| 
                      
                          b.  Vektor Basis 
                                Tinjaulah sistem koordinat tegal lurus OXY dalam bidang dan P dan Q titik-titik 
                           dengan koordinat P(x, 0) dan Q(0, y), vektor basis i dan j didefinisikan sebagai berikut: 
                                Vektor i panjangnya satu searah sumbu x positif, dan vektor j panjangnya satu searah 
                           sumbu y positif. Maka vektor                           dan vektor                 . Untuk setiap sembarang titik 
                           P(x,y) pada sistem koordinat, maka vektor                                     .  
                                Untuk  setiap  vektor  a  =  a i  +  a j  dan  b  =  b i  +  b j  ,  maka  penjumlahan  dan 
                                                                       1         2                   1        2
                           pengurangan didefinisikan sebagai berikut: 
                                1.  a + b = (a + b )i + (a + b )j 
                                                   1     1         2     2
                                2.  a - b = (a - b )i + (a - b )j 
                                                  1    1         2    2
                           Dengan menggunakan dalil Phytagoras panjang vektor a adalah | a | =                                             . 
                      
                          c.  Perkalian Titik/Skalar Dari Dua Vektor 
                                Sudut  antara dua vektor yang tak nol, a dan b didefinisikan sebagai berikut 
                                                     =  (a , b) =  AOB 
                                dengan O sebarang titik di bidang dan A, B dipilih sehingga OA = a dan OB = b. 
                                Hasil kali skalar a  dan b adalah bilangan riil yang dinyatakan oleh 
                                                    a . b = abcos, dengan  =  (a , b). 
                                Besaran bcos dapat dipandang sebagai komponen dari b dalam arah a, ditulis  
                                komp  b = bcos. 
                                       a
                                                            b 
                                 
                                                         
                                                           bcos                    a 
                                  By Lukman, M.Si.                                           Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung     3 
                      
                     Maka hasil kali skalar dua vektor dapat ditulis dalam bentuk 
                            a . b = a komp  b  atau a . b = b komp  a 
                                         a                    b
                     Pengertian komponen banyak digunakan dalam mekanika. Jika gaya F mempengaruhi 
                     sebuah benda bergerak dari A ke B sepanjang segmen AB, maka hanya komponen 
                     dari F pada AB yang bekerja. Maka kerja yang dilakukan sama dengan hasil perkalian 
                     komponen dan jarak yang dilalui. 
                            Kerja = kompF      = F .    
                      
                     Berdasarkan  definisi  di  atas  dapat  dibuktikan  sifat-sifat  perkalian  skalar  sebagai 
                     berikut: 
                     1.  a . b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau  = 900. 
                     2.  a . b = b . a 
                     3.  a . (b + c) = a . b + a . c 
                     4.  a . (kb) = (kb) . a = k (a . b) 
                     5.  a . a = a2  
                     6.  Apabila a = a i + a j dan b = b i + b j, maka a . b = a b  + a b . 
                                     1    2         1    2               1 1   2 2
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               
                       By Lukman, M.Si.                                           Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung     4