BAB 2
                                                        LANDASAN TEORI
                       2.1    Kalkulus
                               Pada abad ke-14, seorang ahli Matematika asal India, Madhava bersama rekan-
                       rekan ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang
                       nantinya    akan    menjadi    dasar-dasar   kalkulus)    dan    selanjutnya   tidak    pernah
                       dikembangkan oleh siapapun dan di manapun di dunia ini dari   sejak saat itu. Hingga
                       akhirnya perkembangan penemuan itu terjadi pada abad ke-17, di mana Newton dan
                       Leibniz menemukan secara terpisah teorema fundamental kalkulus dan hasil karya pada
                       notasi kalkulus.
                               Kalkulus yang merupakan cabang pusat dari matematika, yang dikembangkan
                       dari aljabar dan geometri dan dibangun dari dua buah ide tambahan utama. Salah satu
                       konsepnya  adalah  kalkulus  diferensial.   Kalkulus  diferensial  mempelajari   besarnya
                       perubahan, yang biasanya digambarkan dengan kemiringan kurva.
                               Konsep  yang  lain  adalah  kalkulus  integral.  Kalkulus   integral  mempelajari
                       akumulasi jumlah seperti  luas  area  di  bawah  kurva,  jarak  linear  yang  ditempuh  dan
                       volume.
                                                                1
                        2.2     Kalkulus Diferensial
                                Kalkulus  diferensial  muncul  dari  pembelajaran  limit  kuosien,   Δy ,  sebagai
                                                                                                     Δx
                        denominator  Δx  mendekati nol, di mana x dan y adalah peubah-peubahnya. Y dapat
                        diekspresikan  sebagai  beberapa  fungsi  x,  atau  f(x)  ,  dan   Δy   dan   Δx   mewakili
                        penambahan  koresponden,  atau  perubahan  dalam  y  dan  x.     Limit  dari  Δy   disebut
                                                                                                      Δx
                        derivatif dari y terhadap x dan diindikasikan dengan Δy  atau D  y :
                                                                              Δx          x 
                                                        lim Δy =  dy =D  y                              (2.2.1)
                                                          = Δx dx             x 
                                                       Δx 0 
                                                                          +     − 
                                                      =       =       f(x    h)    f(x)
                                               D y  f' (x)       lim                                    (2.2.2)
                                                  x             h→0           h
                                               Gambar 2.1.1  Garis singgung pada (x,f(x))
                                  Gambar 2.1.2  secant kurva y = f(x) yang ditentukan oleh titik (x, f(x)) dan
                                                                    (x+h, f(x+h)).
                                   Simbol-simbol  dy  dan  dx  disebut  diferensial-diferensial  (di  mana  keduanya 
                           sebagai simbol dan bukan produk), dan proses menemukan derivatif y = f(x) disebut
                                                     dy      df(x)  juga didenotasikan sebagai y’, atau f’(x). Turunan 
                           diferensiasi.   Derivatif      =
                                                     dx       dx
                           f’(x) merupakan fungsi dari x  dan dapat diturunkan, yang mana hasilnya adalah turunan
                                                                                        2 
                           kedua  yakni  didenotasikan      sebagai  y”,  f”(x)  atau d  y
                                                                                         2.  Proses  ini  dapat  dilanjutkan
                                                                                      dx 
                           dengan meneruskan ke turunan ketiga, turunan keempat, dan seterusnya.
                                   Dalam prakteknya telah dikembangkan rumus untuk mencari turunan-turunan 
                           dari  semua fungsi-fungsi yang ada. Misalnya, jika y = x n , maka y' = nx n -1 , dan jika
                           y = sin x, maka y’ = cos x.
                                   Sebuah  fungsi  dikatakan  differentiable pada  titik  x  jka  terdapat  turunan  dari 
                           fungsi tersebut di titik itu; sebuah fungsi disebut differentiable pada sebuah interval jika
                      untuk setiap x dalam interval itu fungsi tersebut dapat diturunkan. Jika sebuah fungsi
                      tidak kontinu pada nilai x , maka tidak terdapat garis singgung dan fungsi tersebut tidak
                      differentiable pada nilai x; bagaimanapun, bahkan jika sebuah fungsi kontinu pada nilai
                      x, mungkin saja fungsi tersebut tidak differentiable.  Dengan kata lain, differentiability
                      mengarah pada kontinuitas, namun tidak sebaliknya.
                      2.3       Kalkulus Integral
                             Di  dalam  kalkulus,  integral  merupakan  sebuah  fungsi  generalisasi  dari  luas, 
                      massa, isi, jumlah dan total. Proses menemukan integral disebut integrasi.
                             Secara intuitif, integral dari fungsi  f   bilangan riil positif yang kontinu dengan 
                      satu variabel riil x di antara batas kiri a dan batas kanan b merepresentasikan daerah
                      yang dibatasi oleh x = a dan x = b   dan sumbu x. Lebih formalnya dapat dinyatakan
                      sebagai berikut :
                                    S   ⎧(x, y)      2 : a   x   b,0        ⎫
                                      = ⎨      ∈ ℜ         ≤  ≤      ≤  f(x) ,                    (2.3.1)
                                                                            ⎬
                                                                            ⎭
                                    y ≤ ⎩
                      yang mana integral f di antara a dan b adalah pengukuran dari S.
                             Leibniz memperkenalkan notasi s panjang  yang standar untuk integral. Sehingga 
                      persamaan (2.3.1) dapat ditulis menjadi
                                                         b f(x)dx .                              (2.3.2)
                                                         ∫   
                                                         a
                             Persamaan di atas juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
                               lim