Filetype PDF | Diposting 26 Aug 2022 | 3 thn lalu
Authentication
digital resources
459x Tipe PDF Ukuran file 0.50 MB Source: vidyagata.files.wordpress.com
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB 22
Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T :
22
(x,y) ( x' , y')
RR
Jenis-jenis transformasi antara lain :
Transformasi Isometri yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak
Translasi ( Pergeseran) , Rotasi ( Pemutaran ) , Refleksi ( Pencerminan ).
Dilatasi ( Perbesaran) , Stretch ( Regangan ) , Shear ( Gusuran / kecondongan )
1. TRANSLASI ( PERGESERAN)
Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah
tertentu. Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi.
Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom a .
b
Suatu translasi T dengan vektor translasi a . Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan
b
dapat dituliskan :
T = a : P(x,y) P' (x + a , y + b)
b
Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan :
x' = x + a
y' = y + b
Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T = a .
b
Contoh :
Tentukan bayangan PQR dengan P(1,1) , Q(2,4) dan R(-1,3) bila dilakukan translasi oleh 2 .
3
P(1,1) P' ( 1+2 , 1+3) atau P' (3,4)
Q(2,4) Q' (2+2 , 4+3) atau Q' (4,7)
R(-1,3) R' (-1+2 , 3+3) atau R' (1,6)
2. REFLEKSI
Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan
sifat bayangan oleh suatu cermin yaitu :
1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin
(sumbu pencerminan)
2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen
Pencerminan dilambangkan dengan Ma dengan a adalah cermin (sumbu simetri)
Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain :
a. Pencerminan terhadap garis y = x A(x,y) y=mx
b. Pencerminan terhadap garis y = - x
c. Pencerminan terhadap sumbu X
d. Pencerminan terhadap sumbu Y A'(x',y')
e. Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu
Pencerminan terhadap garis y = mx adalah suatu pemetaan
22
T : R R X
0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 160
(x, y) (x', y ')
dimana
2
12mm
x ' x y
22
11mm
2
21mm
y ' x y
22
11mm
Dari difinisi diatas dapat dilihat hal-hal khusus yaitu apabila m=0 ; m = -1 dan m = .
a. Jika m = 0, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu X. akibatnya
persamaan pencerminan menjadi :
x' = x dan y' = -y
Jadi pencerminan terhadap sumbu X adalah pemetaan T : (x,y) ( x , -y )
10
Matriks Refleksinya
01
b. Jika m , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu Y. yang
mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;
x' = -x dan y' = y
Pencerminan terhadap sumbu Y adalah pemetaan T :(x, y) ( x, y)
10
Matriks Refleksinya
01
c. Jika m=1 , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = x yang
mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;
x' = y dan y' = x
Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T :(x, y) (y,x)
01
Matriks Refleksinya
10
d. Jika m=-1, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = -x . yang
mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;
x' = - y dan y' = -x
Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T :(x, y) ( y, x)
01
Matriks Refleksinya
10
e. Pencerminan terhadap garis y = k
x' = 2k – x dan y' = y
f. Pencerminan terhadap garis y = k
x' = x dan y' = 2k - y
g. Pencerminan terhadap titik (a,b)
x' = 2a – x dan y' = 2b – y
Contoh :
22
x y 4x 6y 10 yx
Tentukan bayangan lingkaran jika dicerminkan terhadap garis
yx
Persamaan dari pencerminan terhadap garis adalah x' y dan y' x
Dari persamaan tersebut maka x = y' dan y = - x', kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran akan
didapat :
22 22
( y') ( x') 4( y') 6( x') 10 atau (x') ( y ') 6x' 4y' 10
22
dengan membuang "aksen" diperoeh bentuk x y 6x 4y 10 yang merupakan bayangan
lingkaran.
3. ROTASI
Suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara
memutar titik-titik sejauh dengan pusat titik P.
Jika positip maka arah putaran berlawanan arah putaran jarum (x',y') (x,y)
jam dan jika negatip akan searah dengan arah putaran jarum
jam. disebut dengan sudut rotasi dan P disebut pusat rotasi dan
suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi ditulis R (P, )
22
T : R R P
(x, y) (x', y ')
dimana x' xcos ysin
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 161
y' xsin ycos
Jika R(P, ) : (x, y) (x', y ') dengan P(a,b)
Terdapat hubungan :
x' (x a)cos (y b)sin a
y' (x a)sin ( y b)cos b
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi :
Rotasi Matriks
RR(0,900) xx' 0 1
900
yy' 1 0
RR(0, 900)
900 xx' 0 1
yy' 1 0
RR(0,1800)
1800 xx' 1 0
yy' 0 1
R(0, ) xx' cos sin
yy' sin cos
Contoh :
Tentukan bayangan dari titik A(2,4) , B(-3, 5) dan C(0, -3) jika dirotasi dengan :
a. seperampat putaran
b. setengah putaran
a. Rotasi seperempat putaran berarti 900 maka
00
x ' xcos90 ysin90 atau x' = -y
00
y' xsin90 ycos90 y' = x
Jadi rotasi seperempat putaran adalah T :(x, y) ( y, x)
Maka A'(-4,2) , B'(5,-3) dan C'(3,0)
b. Rotasi setengah putaran berarti 1800 maka
00
x ' xcos180 ysin180 atau x' = - x
00
y' xsin180 ycos180 y' = - y
Jadi rotasi setengah putaran adalah T :(x, y) ( x, y)
Maka A'(-2,-4) , B'(3,-5) dan C'(0,3)
Contoh :
Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran.
Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x
Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y'
= -x' +2 atau –x' = -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh
-x = -y + 2 atau y = x + 2 yang merupakan peta dari garis y = -x + 2
4. DILATASI
Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu
dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk
bangun tersebut. Y A’
Transformasi Dilatasi dengan faktor saa sebesar k adalah suatu
pemetaan yang didefinisikan sbb:
22
T : R R A B
(x, y) (kx,ky) dimana k real. ’
Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : B
Pk, O X
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 162
Jika P,k : A(x, y) A'(x', y ') dengan P(a,b) maka terdapat hubungan :
x' = a + k (x – a )
y' = b + k (y – b )
Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :
x' = kx
y' = ky dengan matriks yang sesuai k 0
0 k
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya.
1) Jika k 1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula
01k
2) Jika , maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula
10k
3) Jika , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun
semula
4) Jika k 1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat dan
bangun semula
Contoh :
Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari :
a. titik A(3,2) dan B9-4,3)
b. garis y-2x+5=0
a. x' 3 0 3 2 4 2 2 2 5 16
y ' 0 3 2 1 3 1 1 1 4 7
Bayangan nya adalah :A' (5,4) dan B'(-16,7)
xx' 3 0 2 2
b.
yy' 0 3 1 1
3xx6 2 3 4
3yy3 1 3 2
x' 3x 4 x x 4
3
y ' 3y 2 y y 2
3
substitusi ke y –2x+5=0 didapatkan :
yx' 2 4
2. 5 0
33
yx' 2 2 ' 8 15 0
yx' 2 ' 9 0 maka bayangannya adalah : y – 2x +9 = 0
5. TRANSFORMASI GUSURAN ( SHEAR)
Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X
atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:
1. Transformasi gusuran arah sumbu X
Matriks transformasi yang bersesuaian adalah 1 q dengan q 1 =factor skala
01 tg
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : A B A’ B’
x' = x + qy
y' = y
2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y O
10
Matriks transformasi yang bersesuaian adalah p 1 dengan X
p 1 =factor skala
tg
Titik A ( x, y ) ditarnsformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 163
no reviews yet
Please Login to review.
