Grafik Komputer dan Pengolahan Citra
                                 Matriks dan 
                   Transformasi Geometri
                                                                      �M11   M12 � M1n�
                                                                      �M21   M22 � M2n�
     • Representasi umum suatu Matriks adalah : M��                                      �
                                                                      � �     �   � � �
                                                                      �Mm1 Mm2 � Mmn�
                                                                      �                  �
        dimana pada Matriks Mrc, r adalah kolom dan  c baris.                        �v1�
     • Suatu Vektor direpresentasikan sebagai matriks kolom :v��v2�
                                                                                     �  �
                                                                                     �v3�
                                                                                     �  �
     • Perkalian Matriks dan Vektor dapat digunakan untuk 
        transformasi linier suatu vektor.                  �M11  M12   M13��vx�   �a�
                                                    M�v��M21 M22 M23��vy� � �b�
                                                           �               �� �   � �
                                                           �M31  M32   M33��vz�   �c�
                                                           �               �� �   � �
     • Suatu sekuens transformasi linier berkorespondensi 
        dengan matriks korespondennya : M M M v                          �v
                                                          1   2    3 old     new
           dimana, Vektor hasil di sisi kanan dipengaruhi matriks transformasi linier 
               dan vektor awal.
     • Jadi….. Suatu Transformasi Linier :
           – Memetakan suatu vektor ke vektor lain
           – Menyimpan suatu kombinasi linier
                Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2D                    2/ 11
                        Grafik Komputer dan Pengolahan Citra
                               TRANSLASI
       •    Translasi adalah suatu pergerakan/perpindahan semua titik dari 
            objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru.
       •    Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau 
            Vektor Geser.
       •    Pergeseran tersebut dapat ditulis :       �a   b��x� � �x'�
                                                      �      �� �    �  �
                                                      �c   d��y�      y'
                                                                     �  �
       •    Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3x3 kita 
            dapat menulisnya :
                                                 �       T � x       x�T
                             �1  0 T �            1 0      x � �    �     x �
                             �       x �         �          �� �    �      �
                Translation � �0 1 Ty �          �0   1 Ty ��y� � �y�Ty�
                             �0  0   1 �         �0   0   1 ��1�    �  1 �
                             �        �          �          �� �    �      �
                                        T = 2
                                         x
                                        T = 1
                                         y
                Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2D                  3/ 11
                              Grafik Komputer dan Pengolahan Citra
                                              ROTASI
         •     Rotasi adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur 
               lingkaran dengan pusatnya pada titik pivot. 
                            (x’, y’)                       x’ = x cos(�) - y sin(�)
                                                           y’ = x sin(�) + y cos(�)
                                         (x, y)
                                                        x = r cos (�)
                                                        y = r sin (�)
                    �                                   x’ = r cos (� + �)
                        �                               y’ = r sin (� + �)
                                                        Identitas Geometri…
                                                        x’ = r cos(�) cos(�) – r sin(�) sin(�)
                                                        y’ = r sin(�) sin(�) + r cos(�) cos(�)
                                                        Substitusi…
                                                        x’ = x cos(�) - y sin(�)
                                                        y’ = x sin(�) + y cos(�)
         •     Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan matriks:
                                                 � �           � �
                                  �x'� � �cos �          �sin � ��x�
                                  �   �    �     � �          � � �� �
                                   y'        sin �        cos �        y
                                  �   �    �                        �� �
                 Dimana  : 
                 -   sin(�) dan cos(�) adalah fungsi linier dari �,
                 -   x’ kombinasi linier dari x dan y
                 – y’ kombinasi linier dari x and y
                    Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2D                                   4/ 11
                    Grafik Komputer dan Pengolahan Citra
                               SKALA
      •   Penskalaan koordinat dimaksudkan untuk menggandakan 
          setiap komponen yang ada pada objek secara skalar. 
      •   Keseragaman penskalaan berarti skalar yang digunakan 
          sama untuk semua komponen objek. 
                                   �2
      •   Ketidakseragaman penskalaan berarti skalar yang 
          digunakan pada objek adalah tidak sama.
                                    X �2,
                                   Y �0.5
      •   Operasi Skala :    �x'� � �ax�
                             � �   �  �
                              y'   by
                             � �   �  �
                                      �x'�  �a   0��x�
          atau dalam bentuk matriks :     �
                                      �  �  �     �� �
                                      �y'    0 b y
                                         �  �     �� �
             Grafik Komputer : Transformasi Geometri 2D         5/ 11