BAB 4
                                                      TRANSFORMASI FOURIER
                  4.1. Dasar-dasar Transformasi Fourier
                            Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi
                  yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi
                  domain frekwensi. 
                                     F(t)       Transformasi         F(
                                                   Fourier             )
                                      Gambar 4.1. Transformasi Fourier
                            Transformasi   Fourier   merupakan   suatu   proses   yang
                  banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi
                  atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam pengolahan
                  citra   digital,   transformasi   fourier   digunakan   untuk   mengubah
                  domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-
                  analisa   dalam   domain   frekwensi   banyak   digunakan   seperti
                  filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau
                  citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
                  4.1.1. Transformasi Fourier 1D
                          Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t)
                  didefinisikan dengan:
                                        
                            F() f(t).e jtdt
                                        
                                        
                  dimana             F() adalah fungsi dalam domain frekwensi
                                      adalah frekwensi radial 0 – 2f,
                                        atau dapat dituliskan bahwa
                                                                                                59
                                                = 2f
                Contoh 4.1.
                Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:
                                      f(t)
                                    3
                              -1    0      1         t
                Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:
                          1                 1
                F() (3)e jtdt 3 e jtdt
                                           
                          1               1
                                     1
                         3 ejt
                             j       1
                         3 e j  ej 6sin()
                             j                  
                Hasil dari transformasi Fourier untuk  = 0 s/d 2 adalah :
                          Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
                                                                                   60
                     4.1.2. Transformasi Fourier 2D
                              Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial
                     f(x,y) didefinisikan dengan:
                                                       
                                                                           j x y
                                 F( , )                  f (x, y).e         1    2  dxdy
                                        1    2        
                                                       
                     dimana                F( , ) adalah fungsi dalam domain frekwensi
                                                1   2
                                f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra
                                  dan   adalah frekwensi radial 0 – 2.
                                               2
                     Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra
                     digital adalah transformasi fourier 2D.
                     Contoh 4.2.                                                         f(x,y)
                     Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:                        1
                                                                          1                        1
                                                                  y                                     x
                     Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:
                                         1 1          j x y
                      F ,                (1).e      1    2   dydx
                             1    2      
                                         11
                          1        j x            1          1
                               e     1      j y               sin( )  j x
                                       e     2     dx                2   e     1 dx
                          j                                   
                         1          2             1        1       2
                                              j x  1
                         sin( )          e    1          sin( ) sin( )
                                 2                              2  .         1
                                            j                             
                                2              1  1             2            1
                         sin( )sin( )
                                 2           1
                                  
                                    2  1
                     Hasil dari transformasi fourier untuk 0< , <2, adalah sebagai
                                                                                1    2
                     berikut :
                                                                                                                 61
            Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
           Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface
        Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous
        fourier   transform,   dan   sulit   dikomputasi   karena   ada   operasi
        integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
                                       62