Transformasi Linear 
                       
                      Definisi 
                      Misalkan V, W suatu ruang vektor atas sebuah field. 
                      T: V  W suatu fungsi. 
                      T disebut transformasi linear jika untuk u, v  V dan k skalar berlaku 
                           (     )    ( )    ( )
                      1.                     
                           (  )     ( )
                      2.               
                       
                      Contoh 
                                                  3    3
                      1.  Suatu transformasi T:      didefinisikan sebagai 
                                                                       
                                                                          
                                                                       
                                                       ((  )) (           ) 
                                                                        
                                                                       
                                                                        
                                         
                                          
                                                
                          untuk setiap (  )     . 
                                         
                                          
                                                                                       
                          Vektor (   ) akan ditransformasikan oleh T menjadi vektor ( ), karena  
                                                                                       
                                                                                       
                                                                              
                                                                   (   )
                                                                     
                                                   (( )) (              ) ( ) 
                                                                              
                                                                       
                                                                 (  )         
                                                                 
                          Vektor ( ) disebut peta dari vektor (   ) oleh transformasi T. 
                                                                 
                                                                 
                                                                     
                          Vektor (   ) disebut prapeta dari vektor ( ) oleh transformasi T. 
                                                                     
                                                                     
                          Apakah transformasi T merupakan transformasi linear? 
                                           3
                          Misalkan u, v    dan k skalar. 
                                                                                  
                                       3                             3             
                                                                                  
                          Karena u    maka u = (  ), karena v    maka v = (  ) dengan 
                                                                                  
                                             .                                    
                                          
                                                    
                                                      
                              (     )               
                          1.            ((  ) (  )) 
                                                    
                                                      
                                                 
                                                    
                                                 
                                         ((         )) 
                                                 
                                                    
                      Transformasi Linear – Onggo Wiryawan                                       Halaman 1 dari 6 
                               (       )  (       )
                                           
                                                  
                               (       )  (       )
                             (            ) 
                                                  
                                              
                                    (       )
                                         
                                            
                                                             
                                                              
                               ( )    ( )                    
                  Sedangkan            ((  ))  ((  )) 
                                                             
                                                              
                                                             
                                                                
                                                             
                                          (         ) (         ) 
                                                              
                                                            
                                                             
                                             (       )  (       )
                                                         
                                                                
                                             (       )  (       )
                                          (            ) 
                                                                
                                                          
                                                       
                                                          
                          (     )   ( )    ( )
               Ternyata                 , sehingga T bukan transformasi linear. 
                
                                       2
           2.  Suatu transformasi T:     didefinisikan sebagai 
                                                  
                                               .  /        
                                               (    )          
                                                  
                                                   
                              
               untuk setiap .  /     . 
                              
                               
                                                               
               a.  Tentukan hasil transformasi dari . / dan .  / terhadap T. 
                                                              
               b.  Tentukan apakah T merupakan transformasi linear. 
               Jawab 
                       
               a.    . /        
                    (   )
                       
                        
                    .    /         
                    (     )
                        
                                    2
               b.  Misalkan u, v    dan k skalar. 
                                                                          
                                2                            2             
                  Karena u    maka u = .    /, karena v    maka v = .  /. 
                                                                          
                                                                           
                                         
                                          
                    (    )
                           . / . /  
                               (           )
                                         
                                          
                                    
                             .         /  
                              (         )
                                    
                                       
                                       
                                             
                            (       )   (      )
                                         
                                               
                              ( )    ( )
                                     
                  Sedangkan 
                                 
                                  
                    (  )
                           . /  
                            (      )
                                  
                          
                     (  )  
                      (      )
                           
                           
                              
                      (      )
                           
                             
                          
                      .  /  
                       (     )
                           
                       ( )
                         
           Transformasi Linear – Onggo Wiryawan                                       Halaman 2 dari 6 
                                        Sehingga dapat disimpulkan bahwa   merupakan transformasi linear. 
                              Teorema 
                              Misalkan         suatu transformasi linear, maka untuk          berlaku 
                                     ( )
                              1.          
                                     (    )        ( )
                              2.              
                                     (       )      ( )      ( )
                              3.                     
                              Bukti 
                                     ( )       (       )
                              1.               
                                              ( )       ( )
                                                     
                                     ( )      (    )             (    )
                              2.                      
                                                          (            )
                                                          ( )
                                                           
                                     (       )            (    )
                              3.                    
                                                    (            )
                                                    ( )      (     )
                                                           
                                                    ( )      ( )
                                                          
                              Definisi 
                              Misalkan         suatu transformasi linear maka himpunan 
                                                                        ( )     * |         ( )         +
                                                                                         
                              yang merupakan himpunan bagian dari  , disebut Ruang Peta (Image) dari 
                              transformasi linear  . 
                              Sedangkan himpunan 
                                                                         ( )                  ( )
                                                                           * |           + 
                              yang merupakan himpunan bagian dari  , disebut Ruang Nol (Kernel) dari 
                              transformasi linear  . 
                               
                              Teorema 
                                ( ) dan    ( ) masing-masing merupakan subruang dari   dan  . 
                              Bukti 
                              Masing-masing dari   ( ) dan    ( ) merupakan himpunan bagian dari dari   
                              dan  . 
                              Pada   ( ) akan ditunjukkan bahwa           ( ) dan   suatu skalar berlaku 
                                                                                           
                                                         ( )
                                   a.              
                                                  
                                                    ( )
                                   b.             
                                             
                                   Yaitu misalkan          ( ), dan   suatu skalar. 
                                                                
                                                        ( )
                                   Karena          maka akan ada suatu      yang merupakan prapeta dari 
                                                                                              
                                     . Sehingga dapat ditulis 
                                      
                              Transformasi Linear – Onggo Wiryawan                                                                    Halaman 3 dari 6 
                                                               (  )
                                                               
                                                                  
                                               ( )
                 Begitu pula untuk           maka akan ada suatu       yang merupakan 
                                                                              
                 prapeta dari   . Sehingga dapat ditulis 
                                  
                                                               (  )
                                                               
                                                                  
                 maka 
                                                      (  )     (  )     (       )
                                                                  
                                                                                
                 Terlihat bahwa       merupakan hasil dari peta         , sesuai definisi 
                                                                                  
                    ( )                       ( )
                      , maka            . *syarat a terpenuhi 
                                        
                 Sedangkan 
                                                           (  )
                                                            (   ) 
                                                                         
                 Terlihat bahwa     merupakan hasil peta dari       , sesuai sesuai definisi 
                                                                         
                    ( )                  ( )
                      , maka          . *syarat b terpenuhi 
                                    
             Pada    ( ) akan ditunjukkan bahwa            ( ) dan   suatu skalar berlaku 
                                                               
                                   ( )
                 a.               
                            
                               ( )
                 b.              
                        
                 Yaitu misalkan           ( ), dan   suatu skalar. 
                                        
                                   ( )          (  )                                   ( )
                 Karena            maka                 begitu pula untuk            maka 
                                                                                
                  (   )
                          sehingga  
                      
                                          (       )     (  )     (  )
                                                                
                                                                    
                                                                                 ( )
                 Terlihat bahwa       dipetakan ke  , sesuai definisi       , maka       
                                                                                                     
                     ( )
                       . *syarat a terpenuhi 
                 Sedangkan 
                                               (    )      (  )
                                                                 
                                                              
                                                                              ( )                   ( )
                 Terlihat bahwa     dipetakan ke  , sesuai definisi       , maka            . 
                                                                                             
                 *syarat b terpenuhi 
              
             Misalkan           suatu transformasi vektor linear. 
             *  +             adalah basis natural dari   . 
                
             *  +             adalah basis natural dari   . 
                
              (   )  (  )      (  )                              
                              adalah vektor-vektor di    sehingga masing-masing mereka 
                                  
             merupakan kombinasi linear dari *  +. 
                                                      
             Yaitu 
                                          (  )
                                                                 
                                                                            
                                          (  )
                                                                 
                                                                            
             Transformasi Linear – Onggo Wiryawan                                                 Halaman 4 dari 6