TRANSFORMASI LINEAR 
                                                               
                                 Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear 
                                        Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd 
                                                                                
                                                               
                                                       Disusun oleh : 
                                                  Kelompok 7/ Kelas III A2 
                                          Endar Alviyunita             13144100094 
                                          Ahmat Sehari                 --------------- 
                                          Kunikatus Sangadah           151441000-- 
                                          Nur Lailatus Shofiah         15144100060 
                        
                                                               
                                    PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 
                                  FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN 
                                          UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 
                                                            2016 
                                                              1 
                        
                                                 TRANSFORMASI LINIER 
                       A.  Transformasi Linier dari Rn ke Rm  
                                  Jika pada suatu fungsi  f  dengan Rn sebagai domain dan Rm  sebagai 
                           kodomain (m  dan  n  mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa 
                                                  n      m                    nm
                           fungsi  f   memetakan R  ke R  dengan notasi  f : R R   
                                  Jika  kita  menotasikan  suatu  transformasi  dengan  T   ,  maka 
                                nm
                           T: R R  yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut: 
                           w  a x   a x   ...  a x  
                            1     11 1    12 2         1nn
                           w     a x   a x   ...  a x   
                             2    21 1    22 2          2nn
                              . 
                              . 
                           w    a x   a x   ...  a x   
                             m     m1 1    m2 2          mn n
                           Dalam notasi matriks 
                                   a a      a
                            wx
                                  
                                  11 12    1n     
                              11
                                  
                           w     a a      a     x 
                              2      21 22    2n    2
                                  
                                                    
                                 
                                  
                                                  
                                  
                                                  
                            wx
                                   a a       a
                              mn
                                   m12m     mn    
                                  
                           Atau w Ax  
                               
                       B.  Pengertian Transformasi Linier Secara Umum 
                                  Setelah mengetahui transformasi linier dari  Rn  ke  Rm , kita telah 
                                                                        nm
                           menunjukkan bahwa sebuah transformasi T : R R  adalah linier jika dan 
                           hanya    jika    kedua    hubungan      T   uv     T  u   T v  dan 
                                                                                         
                           T ku    kT  u  
                                        
                           Berlaku untuk semua vektor u  dan v  pada Rn  dan setiap skalar k   
                           Bentuk tersebut dapat juga didefinisikan : 
                                  Jika T : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor  v kedalam 
                           ruang vektor w  maka T   dinamakan transformasi linier jika: 
                                                             2 
                        
                                     (i)       T  uv   T  u   T  v  untuk semua vektor u  dan v  di V   
                                                                               
                                     (ii)      T  ku    kT  u   untuk  semua  vektor  u   didalam  V   dan  semua 
                                                                   
                                               skalar k     
                                                                       f 
                                                                                     
                                                     u                         T(u) 
                                                     u                         T(v) 
                                                      u+v                      T(u+v) 
                                                       ku                      T(ku) 
                                                                                                
                                                    k        Diagram Venn 
                                                                              k 
                                                    
                                C.  Contoh-contoh Transformasi Linier 
                                      1.  Pemetaan Nol 
                                                    Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V   
                                           ke  vektor  nol.  Misalkan  T : V W   dengan  Tx    0   adalah 
                                                                                                                            
                                           pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0W  ke setiap vektor vV
                                           . Untuk sebarang vektor u,vV  maka  
                                                              
                                            T uv        0
                                                     
                                            T uv 00
                                                                   
                                                     
                                                                                            
                                            T uv T u T v    
                                                                   
                                            T ku 0  
                                                  
                                           Oleh karena itu, T transformasi linier                    T ku k.0  
                                                                                                           
                                                                                                     T ku kT u   
                                                                                                                    
                                               
                                               
                                      2.  Pemetaan Identitas 
                                                                                     3 
                                 
                                               Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan  v  ke dirinya 
                                        sendiri . 
                                        Pemetaan  T : V V  yang  didefinisakan  oleh  T v V   ,  biasanya 
                                                                                                           
                                        dinotasikan oleh  I. 
                                        Perhatikan pemetaan identitasI : V V  , dengan                                      yang 
                                                                                                          T x,,y  x y
                                                                                                                 
                                                             vV
                                        memetakan tiap               ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang u,vV
                                        vektor kita mempunyai  
                                         I uv uvI u I v   
                                                                     
                                                 uV
                                        Ambil            dan k skalar, maka 
                                         I ku ku  
                                              
                                         I ku   kI u   
                                                      
                                        Jadi,  I  transformasi linier. 
                                            
                                    3.  Pemetaan Konstan 
                                                Pemetaan konstan adalah suatu fungsi  yang menghasilkan suatu 
                                        konstanta  (tetapan).  Pemetaan  T : V W   yang  didefinisikan  oleh
                                                                 uV            c
                                        T u = c.  Dengan                  dan     adalah  suatu  konstanta.  Karena  suatu 
                                            
                                        konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan 
                                        merupakan suatu transformasi linier. 
                                        Bukti: 
                                        Misalkan       T : R2 C  adalah  fungsi  yang  didefinisikan  oleh 
                                                                                    R2         CR                             T
                                        T v  x,y  dengan v x,y  di                     dan          . Tunjukkan apakah           
                                                                         
                                        merupakan suatu transformasi linier! 
                                        Misalkan u  x , y  dan v  x , y                
                                                                                   
                                                            11                  22
                                        T u  v    T         x , y   x , y
                                                          1    1    2    2   
                                                        T x x , y  y   
                                                              1     2   1     2 
                                                        x x , y y                
                                                          1     2   1     2 
                                                                               4