BAB II 
                                                        LANDASAN TEORI 
                                                                       
                                  Dalam  Bab  ini  berisikan  penjelasan  mengenai  peubah  acak  dan 
                          distribusinya, fungsi densitas peluang, fungsi kumulatif, rataan distribusi peluang, 
                          variansi  distribusi  peluang,  distribusi  Weibull  3  parameter,  distribusi  Gamma, 
                          estimasi parameter, uji kebaikan (Goodness of Fit). 
                          2.1     Peubah Acak dan Distribusinya 
                          2.1.1  Peubah Acak 
                                   Peubah  acak  atau  variabel  acak  merupakan  hasil-hasil  prosedur 
                          penyampelan acak (random sampling) atau eksperimen acak dari suatu data yang 
                          telah dianalisis secara statistik. Peubah acak dapat dinyatakan dengan huruf besar, 
                          misal  X ,  sedangkan  nilai  dari  peubah  acak  dinyatakan  dengan  huruf  kecil 
                          padanannya, misal   (Walpole & Myears, 1989). 
                          Definisi 2.1 (Peubah Acak)  
                                  Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada 
                          setiap unsur dalam ruang sampel (Walpole & Myears, 1989). 
                           
                          2.1.2  Distribusi Peubah Acak 
                                  Distribusi peubah acak terbagi menjadi dua yaitu distribusi peubah acak 
                          discrit dan distribusi peubah acak kontinu. Seringkali untuk memudahkan suatu 
                          perhitungan semua probabilitas peubah acak dinyatakan dalam suatu fungsi nilai-
                          nilai  X   seperti  f (x)   yaitu  f (x)  P(X  x).Pada  peubah  acak  diskrit,  setiap 
                          nilainya dikaitkan dengan probabilitas. Himpunan pasangan berurutaan 
                                                                                                                 
                                                                                                          x, f (x)
                          disebut  distribusi  probabilitas  peubah  acak        X .  Sebuah  distribusi  yang 
                          mencantumkan  semua  kemungkinan  nilai  peubah  acak  diskrit  berikut 
                          probabilitasnya disebut probabilitas diskrit (Walpole & Myears, 1989). 
                           
                           
                            Definisi 2.2 (Distribusi Peubah Acak Diskrit) 
                                     (Walpole  &  Myears,  1989)  Himpunan  pasangan  terurut  ((x, f (x)) 
                            merupakan suatu  fungsi  peluang,  fungsi  masa  peluang  atau  distribusi  peluang 
                            peubah acak diskrit   bila, untuk setiap kemungkinan hasil  x  memenuhi syarat:  
                            1.  f (x)  0untuk semua xR 
                            2.       f (x) 1                                                                        (2.1)  
                                x
                            3.  P(X  x) f (x) 
                                     Sedangkan  untuk  distribusi  peubah  acak  kontinu  yaitu  distribusi 
                            probabilitas bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, 
                            akan  tetapi  distribusinya  dapat  dinyatakan  dalam  persamaan  yang  merupakan 
                            fungsi  nilai-nilai  peubah  acak  kontinu  dan  digambarkan  dalam  bentuk  kurva 
                            (Pransanna Sahoo, 2008). 
                            Definisi 2.3 (Distribusi Peubah Acak Kontinu) 
                                     (Walpole & Myears, 1989) Fungsi      adalah fungsi kepadatan peluang 
                            peubah acak kontinu  , yang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real  , 
                            bila:  
                            1.  f (x)  0untuk semua xR 
                            2.   f (x)dx 1                                                                         (2.2)  
                                
                                 
                            3.  P(a  X b) b f (x)dx
                                                  
                                                   a           
                             
                            2.2      Fungsi Densitas Peluang 
                            Definisi 2.4 (Fungsi Densitas Peluang) 
                                     (Walpole & Myears, 1989) misalnya   adalah peubah acak kontinu yang 
                            didefinisikan  dalam  himpunan  bilangan  real.  Sebuah  fungsi  disebut  fungsi 
                            densitas  dari   ,  jika  nilai-nilainya  yaitu        memenuhi  sifat-sifat  sebagai 
                            berikut:  
                             
                                                                                                                         II-2 
                             
                        1.  f (x)  0untuk semua xR 
                        2.   f (x)dx 1                                                           (2.3)  
                           
                            
                        3.  P(a  X b) b f (x)dx
                                          
                                           a         
                         
                        2.3     Fungsi Kumulatif 
                        Definisi 2.5 (Fungsi Kumulatif) 
                                (Walpole  &  Myears,  1989)  Misalkan  X   adalah  peubah  acak  kontinu, 
                        maka fungsi distribusi kumulatif dari   berbentuk: 
                                                     
                                F(X)P(X x) f(x)dt                                               (2.4) 
                                                     
                                                    
                        2.4     Rataan Distribusi Peluang  
                                Nilai harapan atau rataan dari suatu peubah acak merupakan salah satu 
                        ukuran  pemusatan  data  populasi  yang  terpenting.  Nilai  rata-rata  atau  rataan 
                        peubah acak  X  atau rataan distribusi peluang  X  dan ditulis sebagai    atau   . 
                                                                                                 x      
                        Rataan ini disebut juga oleh para statistikawan dengan nilai harapan matematik 
                        atau  nilai  harapan  peubah  acak  X   dan  dinyatakan  dengan  E(X)(Walpole  & 
                        Myers, 1989). 
                        Definisi 2.6 (Rataan Distribusi Peluang) 
                                (Walpole  &  Myers,  1989)  Diberikan  X   adalah  variabel  acak  dengan 
                        fungsi kepadatan peluang  f (x). Nilai harapan atau rataan  X adalah: 
                                   ∑                          bila   diskrit                       (2.5) 
                                        
                                   ∫                          bila   kontinu                       (2.6) 
                                        
                                Metode  yang  diuraikan  di  atas  menunjukkan  bahwa  rataan  atau  nilai 
                        harapan setiap peubah acak diskrit dapat dihitung dengan mengalikan tiap nilai 
                                           dari   peubah     acak        dengan     peluang    padanannya 
                                        
                                             dan kemudian dijumlahkan hasilnya. Bila peubah acaknya 
                                              
                                                                                                       II-3 
                         
                            kontinu, definisi nilai harapan matematik pada dasarnya masih tetap sama, yaitu 
                            dengan mengganti penjumlahan dengan integral (Walpole & Myers, 1989). 
                            2.5     Variansi Distribusi Peluang  
                                    Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak memiliki peran khusus dalam 
                            statistika  karena  menggambarkan keterangan cukup mengenai bentuk distribusi 
                            peluang. Ukuran keragaman terpenting suatu peubah acak   diperoleh dengan 
                            mengambil                  karena  pentingnya  dalam  statistika  maka  diberi 
                            nama variansi peubah acak   atau variansi distribusi peluang   dan dinyatakan 
                            dengan  Var(X)atau      atau    .  Selanjutnya  Var(X)  akan  digunakan  untuk 
                                                        
                            menyatakan variansi dari distribusi peluang   (Dudewicz  & Misra, 1988). 
                            Definisi 2.7 (Variansi Distribusi Peluang) 
                                    (Dudewicz  &  Misra,  1988)  Diberikan     adalah  peubah  acak  dengan 
                            distribusi  peluang        dan  rataan   .  Dari  penjabaran  pada  Persamaan  2.5 
                            Variansi distribusi peluang    di peroleh sebagai berikut: 
                                          [          ]     ∑                
                                                                    ,                   bila   diskrit            (2.7)  
                                                                          
                                      [      ]   ∫              ,   bila   kontinu                                (2.8) 
                                                              
                            Teorema 2.1 (Variansi Distribusi Peluang) 
                                    (Dudewicz  &  Misra,  1988)  misalkan  X   adalah  peluang  acak  dengan 
                            distribusi peluang  f (x). Variansi dari peubah acak adalah sebagai berikut: 
                                                      2            2
                                                                 
                                    Var(X)E(X ) E(X)                                                            (2.9)  
                            Bukti :  
                                                               
                                            [     ]  
                                                   [                    ]
                                                             
                                                                    
                                                                    
                                                                                                                      II-4