Solusi Analitis 
                    2  Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 
                                                      dengan Metode Analitis
                                                                                                    
                  
                  
                  
                 2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH 
                  
                  
                 a. Bentuk Umum:  
                                          y′     =       f (x) ,   f  dan g fungsi sembarang. 
                                                        g(y)
                  
                 b. Metode dan Tahapan Penyelesaian: 
                     1. Gantikan y′atau gunakan:  y′                = dy 
                                                                          dx
                     2.   Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk: 
                                                      g(y)dy =                 f (x) dx 
                     3.   Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh: 
                                                   ∫g(y)dy = ∫f(x)dx 
                  
                 c. Contoh soal: 
                     1.   Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari:    x + yy′            = 0 
                     2.   Selesaikan PD orde-1 berikut:    x2 y′ − y                = 0 
                     3.   Cari penyelesaian dari PD berikut:    x dy + 3 y                 = 0 
                                                                         dx
                     4.  Cari penyelesaian PD orde-1 2xy′ + y                      = 0, dengan harga awal pada 
                          saat  x = 2 memiliki   y =1 
                 Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis       (halaman 1 dari 28) 
                     
                    d. Penyelesaian soal: 
                        1. Gantikan y′ dengan dy, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai:   
                                                                 dx
                               ydy = −x   atau    ydy = − xdx, sehingga dapat diintegrasikan menjadi 
                                  dx
                                                                      ∫ydy = −∫xdx 
                              dan hasilnya adalah 
                                                                          y2              x2
                                                                            2 = − 2 + C  
                              dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat 
                              dituliskan sebagai 
                                                                          y2 + x2 = 2C  
                              sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga 
                               C>0. 
                        2.   PD dimaksud dapat ditulis sebagai x2 dy = y, dan dengan penulisan ulang 
                                                                                          dx
                               yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabel-
                               variabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh 
                               persamaan 
                                                                              dy = dx  
                                                                               y         x2
                              bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai 
                                                                                 dy =           dx  
                                                                             ∫ y            ∫x2
                              menghasilkan 
                    Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis                        (halaman 2 dari 28) 
                                                              ln y = −1 + C 
                                                                              x
                          dan bentuk akhirnya: 
                                                y      = exp−1 +C = eCe−1/x  
                                                                      x        
                                                                               
                          sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak 
                          digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia. 
                     3.   PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi: 
                                                         dy = −3dx,    jika  y ≠ 0 
                                                          y             x
                          dan bentuk integrasinya adalah: 
                                                               ∫dy = −3∫dx 
                                                                   y                 x
                           dan hasilnya: 
                                                      ln y = −3ln x = ln 1  
                                                           h                                x 3
                          dan 
                                                                y = ±h = K  
                                                                        x3         x3
                          Dalam hal ini, K  merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang 
                          hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai  atau kondisi awal (initial 
                          condition) dari PD tersebut, yaitu  y = y0 pada saat x = x0. 
                 Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis       (halaman 3 dari 28) 
                           
                     4.   Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah 
                                                         dy = −1           dx,    jika  y ≠ 0 
                                                      ∫ y            2 ∫ x
                          dan hasilnya: 
                                                     ln y = ln x −1/2 = ln                   1  
                                                          h                                   x
                          atau 
                                                                    y =       K  
                                                                                x
                          Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat x = 2 
                          harga  y =1, akan diperoleh 1= K                    2  atau  K =            2, sehingga hasil 
                          akhirnya menjadi 
                                                                  y =        2 x  
                  
                  
                 e. Tugas dan soal-soal latihan: 
                     Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya 
                     (sesuai dengan yang diberikan): 
                          1.     y = −2y,   dengan primitif    y =               K x2  
                                            x
                          2.    3t di − i = 0 ,   dengan primitif   i = K t1/3 
                                     dt
                          3.    3t di + i = 0 ,   dengan primitif   i = K t−1/3  dengan  t ≠ 0 
                                   ′ dt
                          4.     y cosx + y sin x = 0,   dengan primitif    y = K cosx 
                                        2 dθ                                                                 2
                                 ()
                          5.     1−t         dt + tθ = 0,   dengan primitif   θ = K                   1−t  
                 Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis       (halaman 4 dari 28)