Mata Pelajaran  : Matematika (Wajib)
               Kelas           : X IPA-IPS
               Topik           : Fungsi Invers
               Materi          : MENENTUKAN RUMUS FUNGSI INVERS
               Uraian materi:
               Fungsi invers atau fungsi kebalikan merupakan suatu fungsi yang berkebalikan
               dari fungsi asalnya. Suatu fungsi f memiliki fungsi invers (kebalikan)  f 1 jika
               merupakan fungsi satu-satu (injektif) dan fungsi pada (into). Fungsi semacam
               itu biasa disebut fungsi bijektif. 
               Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
                                               ( f  1)1 f
               Sederhananya, fungsi bijektif terjadi ketika jumlah anggota domain sama
               dengan jumlah anggota kodomain. Tidak ada dua atau lebih doamain berbeda
               dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di
               domain, perhatikan gambar di bawah ini:
                                                                  
               Berdasarkan gambar pemetaan di atas, pemetaan pertama merupakan fungsi
               bijektif. Pemetaan kedua bukan fungsi bijektif karena pemetaan tersebut hanya
               terjadi fungsi pada (fungsi into). Domain  d  dan  e  dipetakan ke anggota
               kodomain yang sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif karena pemetaan
               tersebut hanya terjadi fungsi satu-satu (fungsi injektif). Kodomain 9 tidak
               memiliki pasangan pada anggota domain.
               Misalkan f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga dapat ditulis  yf (x), maka
               f  1  adalah fungsi yang memetakan y ke x, ditulis xf 1(y) . 
               Sebagai contoh f : A →B  fungsi bijektif. 
               Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen B dengan tepat
               satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan  f 1 seperti di bawah
               ini:
                                f  1 :B  A
                               yf(x)xf1(y)
                                         f (a)
                                         f  1(b)
               TUGAS/MAT.W/KELAS X/IPA-IPS                                             1
                  Ada 3 langkah untuk menentukan fungsi invers, yaitu:
                  Langkah 1 :           Ubahlah bentuk  yf(x) menjadi bentuk xf(y).
                  Langkah 2 :           Tuliskan x sebagai  f 1(y) sehingga  f 1(y)f (y).
                  Langkah 3 :           Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus 
                     fungsi invers  f 1(x).
                   
                  Supaya kamu lebih jelas dan paham, coba kita kerjakan contoh soal berikut.
                  1. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi  f (x)2x6.
                     Jawab:
                     Langka               Uraian                               Keterangan
                         h
                                  f (x) 2x6                 Fungsi mula-mula
                         1       y2x6                        f (x)  diganti  y
                                 2x6y                       Ruas kiri dan ruas kanan ditukar
                                 2xy6                       +6 dipindah ke ruas kanan menjadi -6
                                 xy6                        Ruas kiri dan ruas kanan dibagi 2
                                       2
                                  f 1(y)y 6                 x                       1
                         2                                        diganti dengan  f     (y)
                                             2
                         3        f 1(x)x 6                Variabel  y  diganti dengan variable  x
                                             2
                     Jadi fungsi inver dari  f (x)2x6 adalah  f 1(x)x 6.
                                                                                 2
                                            1    1
                     Bisa juga ditulis  f    (x) x 3
                                                  2
                  2. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi  f (x)5x 4.
                     Jawab (tanpa diberi keterangan):
                         f (x)5x 4
                         y5x 4
                        5x 4y
                        5xy4
                         xy4
                              5
                         f 1(y)y4
                                    5
                         f 1(x)x4
                                   5
                        Jadi fungsi invers dari  f (x)5x 4 adalah   f 1(x)x4 
                                                                                      5
                                              1     1    4
                        atau bisa ditulis  f   (x) x
                                                     5    5
                  TUGAS/MAT.W/KELAS X/IPA-IPS                                                                 2
                                                                                 2x 5          1
                   3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi  f (x)                  , x  3
                                                                                 3x1
                      Jawab:
                       Langka               Uraian                                 Keterangan
                          h
                                           2x 5
                                   f (x)                        Fungsi mula-mula
                                           3x1
                                       2x 5                      f (x)           y
                          1        y                                    diganti 
                                       3x1
                                   y(3x1)2x 5                 Perkalian silang  y  dengan 3x1
                                   3xyy2x5
                                                                  y dipindah ke ruas kanan dan 2x ke 
                                   3xy 2x y 5
                                                                 ruas kiri
                                   x(3y 2) y 5               Mengubah ruas kiri (pemfaktoran)
                                        y 5                    3y 2 dipindah ke ruas kiri menjadi 
                                   x                            penyebut (kebalikan dari perkalian 
                                       3y 2                     silang)
                                   x y5                        Pembilang dan penyebut ruas kanan 
                                        3y2                    dikalikan dengan (-1)
                                   f 1(y) y5                   x                        1
                          2                   3y2                  diganti dengan  f      (y)
                          3        f 1(x) x5                  Variabel  y  diganti dengan variable  x
                                              3x2
                                                         2x 5               1       x5
                      Jadi fungsi inver dari  f (x)             adalah  f    (x)            
                                                         3x1                        3x2
                                               1      x5       2
                      Atau bias ditulis   f     (x)        , x 
                                                      2 3x      3
                                                                                 4x7         1
                   4. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi  f (x)                  , x 2
                                                                                 6x 3
                      Jawab (tanpa diberi keterangan):
                                  4x7
                          f (x)
                                  6x 3
                              4x7
                          y
                              6x 3
                          y(6x 3)4x7
                         6xy 3y4x7
                         6xy 4x3y7
                          x(6y 4)3y7
                              3y7
                          x
                              6y 4
                             1     3y7
                          f   (y)
                                    6y 4
                             1     3x7
                          f   (x)
                                    6x 4
                   TUGAS/MAT.W/KELAS X/IPA-IPS                                                                     3
                                                   4x7              1    3x7       2
                    Jadi fungsi inver dari  f (x)        adalah  f   (x)        , x 3  
                                                   6x 3                   6x 4
                 Catatan:Dalam fungsi invers terdapat rumus khusus seperti berikut:
                 TUGAS:
                 Kerjakan soal-soal berikut
                 1. Tentukan fungsi invers  f 1(x) dari fungsi-fungsi:
                    a. f (x)2x 8
                    b. f (x)3x4
                    c. f (x)x 7
                    d. f (x)4x2
                              1
                    e. f (x) x2
                              2
                              1
                    f. f (x) x 5
                              3
                              1
                    g. f (x) (x4)
                              3
                    h. f (x)axb
                 2. Tentukan fungsi invers  f 1(x) dari fungsi-fungsi:
                    a. f (x) 2x
                              3x 4
                              6x 2
                    b. f (x)
                              5x8
                              3x5
                    c. f (x)
                               x 2
                              5 2x
                    d. f (x)
                                x
                    e. f (x) 7
                              2x3
                    f. f (x) axb
                              cxd
                 TUGAS/MAT.W/KELAS X/IPA-IPS                                                          4