Filetype PDF | Diposting 27 Jun 2022 | 4 thn lalu
Authentication
digital resources
459x Tipe PDF Ukuran file 0.21 MB
Penentuan Harga Opsi Model Binomial Dua Periode
A. Model Binomial Satu Periode
Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode (one
time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat dua waktu trading yaitu pada
saat t 0 dan t 1. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu
pada saat t 1 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham
naik sebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d dengan
peluang sebesar (1 – p). Misalkan S0 menyatakan harga saham pada saat t 0, maka
pada akhir periode S0 dapat berubah menjadi S atau S . Selanjutnya pada
1 1 2 2
pasar dengan model binomial satu periode ini tersusun dari dua asset yaitu aset beresiko
yaitu saham dan aset bebas resiko yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank. Bt
menyatakan jumlah tabungan dalam bentuk deposito di bank pada saat t dan St
menyatakan harga saham pada saat t.
Pada model ini proses pergerakan tabungan berlangsung secara deterministik,
dan dapat dinyatakan sebagai berikut
B 1 r t (1)
t
sedemikian hingga
B 1
0
B 1 r
1
dimana r adalah risk-less (risk-free) interest rate. Selain itu perlu diketahui bahwa pada
pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar r dan diasumsikan akan
berlaku hubungan berikut:
d 1 r u (2)
persamaan (2) dapat dinyatakan pula dengan:
d er u (3)
Sedangkan proses pergerakan harga saham merupakan proses stokastik, dan dapat
dinyatakan sebagai berikut
Fitriani Agustina 1
Jurusan Pendidikan Matematika
UPI
S S u peluang p
S 1 1 0 (4)
1 S S d peluang q 1 p
1 2 0
Replikasi Portfolio
Misalkan , B adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest
0 0
rate, C menyatakan harga opsi dari opsi call Eropa, Cu menyatakan payoff apabila harga
saham naik, dan Cd menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila Su S0u dan
Sd S0d maka payoff dari opsi call Eropa pada saat t 1 sebagai berikut
Cu max Su K,0 (5)
Cd max Sd K,0 (6)
Persamaan (5) dan persamaan (6) memperlihatkan besarnya dana yang menjadi
hak holder opsi call untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham. Pada
saat yang bersamaan persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan kewajiban bagi writer
opsi call untuk menyediakan dana sebesar Cu dan Cd di akhir periode 1. Karena hal itu
merupakan kewajiban bagi writer maka writer harus mengusahakan agar mempunyai
dana sebesar Cu dan Cd pada akhir periode 1. Cara yang dapat ditempuh oleh writer
adalah dengan pembentukan replikasi portfolio. Replikasi portfolio Θ merupakan
derivative security dari C apabila nilai replikasi portfolio tersebut pada saat akhir periode
sama dengan C untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham.
Replikasi portfolio tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkan
writer menjual opsi call di awal periode 1 seharga V0. Agar writer mempunyai dana yang
cukup untuk menutup kewajiban membayar dana sebesar Cu dan Cd maka sejak awal
periode 1 writer akan membuat suatu portfolio keuangan yang terdiri dari saham
sebanyak θ lembar. Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan opsi call seharga
0
V. Apabila besar V tidak mencukupi bagi writer opsi call untuk membeli θ lembar
0 0 0
saham maka writer mempunyai pinjaman dengan bunga r per periode untuk
mencukupinya. Sebaliknya apabila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan
suku bunga r per periode. Nilai portfolio pada awal periode 1 adalah V = C yang berupa
0 0
θ S dalam bentuk saham dan B V S dalam bentuk tabungan atau pinjaman.
0 0 0 0 0 0
Fitriani Agustina 2
Jurusan Pendidikan Matematika
UPI
C S V S (7)
0 0 0 0 0 0
C V (8)
0 0
Pada akhir periode 1, nilai portfolio akan menjadi V yang terdiri dari θ S dalam bentuk
1 0 0
saham dan yang dalam bentuk tabungan atau pinjaman akan bertambah menjadi
er V S er B . Nilai portfolio pada akhir periode 1 dapat dinyatakan sebagai
0 0 0 0
berikut:
V C (9)
1 1
S er V S C
V 0 u 0 0 0 u (10)
1 S er V S C
0 d 0 0 0 d
atau persamaan (10) dapat dituliskan dalam bentuk:
S er B C
V 0 u 0 u (11)
1 S er B C
0 d 0 d
Dengan menyelesaikan (11) maka diperoleh
C C
u d (12)
0 S S
u d
1 C S C S
B d u u d (13)
0 er S S
u d
dimana θ menyatakan banyaknya saham dan B menyatakan besarnya tabungan atau
0 0
pinjaman.
Berdasarkan law of one price "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama maka
dua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadi
maka prinsip no-arbitrage tidak berlaku", sehingga
C V
0 0
S B
0 0 0
C C 1 C S C S
u d S d u u d
S S 0 er S S
u d u d
1 er d 1 u er
C C (14)
0 er u d u er u d
Risk-neutral probability
Fitriani Agustina 3
Jurusan Pendidikan Matematika
UPI
Berdasarkan hasil yang diperoleh pada persamaan (14) diketahui bahwa
penjumlahan dari koefisien Cu dengan koefisien Cd sama dengan 1, sehingga koefisien
Cu dengan koefisien Cd dapat diinterpretasikan sebagai peluang. Oleh karena itu,
persamaan (14) dapat disederhanakan menjadi
1 ~ ~ (15)
C pC qC
0 er u d
1 ~ (16)
C E C
0 er 1
~ er d ~ u er ~ ~ ~
dimana p u d dan q u d P p,q merupakan ukuran probabilitas baru
yang disebut sebagai probabilitas risk-neutral (risk-neutral probability). Secara umum
nilai derivative security X pada saat t 0 untuk model binomial satu periode adalah
1 ~ (17)
X0 er E X1
~ (18)
X0 E X1
dimana X1 merupakan harga saham terdiskon pada saat t 1.
B. Model Binomial Dua Periode
Ini merupakan model pasar saham (trading) dengan dua periode (dua time step)
dengan kata lain pada model ini hanya terdapat tiga waktu trading yaitu pada saat t = 0, t
= 1 dan t = 2. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat
t = 2 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik atau
harga saham turun. Misalkan S menyatakan harga saham pada saat t = 1, maka pada
1
akhir periode S dapat berubah menjadi
1
S 2 u2S
2 1 0
S2 S2 1 2 S2 2 1 udS0 (19)
S 2 d2S
2 2 0
Misalkan Θ = (θ ,B ) adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest rate, C
1 1
menyatakan nilai dari European Call Option, C menyatakan payoff apabila harga saham
u
naik, dan C menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila S u2S ,
d uu 0
Fitriani Agustina 4
Jurusan Pendidikan Matematika
UPI
no reviews yet
Please Login to review.
