Perkalian Pdf 5207 | Materi Kelas 12

Berikut sebagian tangkapan teks file ini.
Geser ke kiri pada layar.
                 M A T R I K S  3 
                  
                  
                  
                 B.  Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)  
                       
                      Matriks identitas perkalian (dilambangkan dengan I) adalah sebuah matriks persegi 
                      yang memenuhi sifat:  Jika A adalah matriks persegi yang berordo sama dengan I, 
                      maka berlaku  
                                                                 A  x  I  =  I  x  A  =  A 
                                                                                                          1 0
                      Untuk matriks identitas ordo (2 x 2) dapat dinyatakan sebagai  I =                        
                                                                                                        0 1
                                                                                                                
                      Bukti : 
                                         a   b                          a  b        1 0         a  0   0b         a   b
                      Misalkan  A =           maka   A  x  I  =             x          =                =        =  A   
                                        c   d                       c   d      0 1       c  0   0d       c   d
                                                                                                                
                      Jika A sebuah matriks persegi maka terdapat invers perkalian dari matriks A yang 
                      dilambangkan dengan  A1  dan memenuhi sifat: 
                                                           A  x   A1  =  A1  x   A  =  I 
                                                                                      a   b
                      Untuk matriks ordo (2 x 2), invers dari matriks A =                   dapat ditentukan sebagai 
                                                                                     c   d
                                                                                          
                      berikut : 
                       
                                            p q
                      Misalkan A1 =                 maka          A   x   A1   =   I 
                                           r   s
                                                 
                                                                a   b       p q          1 0
                                                                     x           =         
                                                               c   d    r    s      0 1
                                                                                         
                                                                apbr aqbs              1 0
                                                                                  =          
                                                               cpdr     cqds        0 1
                                                                                           
                      Sehingga :  ap + br = 1   ........................................................................................... (1) 
                                      cp + dr = 0   ........................................................................................... (2) 
                                    aq + bs = 0   ............................................................................................ (3) 
                                    cq + ds = 1   ............................................................................................ (4) 
                      Dari (1)(2)  ap  +  br  =  1    (d)            adp  +  bdr  =  d 
                                     cp  +  dr  =  0    (b)             bcp  +  bdr  =  0 
                                                                       adp  –  bcp  =  d  
                                                                       (ad – bc) p  =  d         jadi   p =      d     
                                                                                                              ad  bc
                       
                       
                 Matriks 3                                                                                                       1 
                       Dari (1)(2)  ap  +  br  =  1    (c)            acp  +   bcr  =  c 
                                     cp  +  dr  =  0    (a)            acp  +   adr  =  0 
                                                                        bcr  –  adr  =  c 
                                                                       adr  –  bcr  =  –c   
                                                                       (ad – bc) r  =  –c         jadi   r =     c  
                                                                                                               ad  bc
                       Dari (3)(4)  aq  +  bs  =  0    (d)            adq  +   bds  =  0 
                                     cq  +  ds  =  1    (b)            bcq  +   bds   =  b 
                                                                        adq  –  bcq  =  –b   
                                                                        (ad – bc) q  =  –b         jadi   q =      b  
                                                                                                                 ad  bc
                       Dari (3)(4)  aq  +  bs  =  0    (c)            acq  +   bcs  =  0 
                                     cq  +  ds  =  1    (a)            acq  +   ads  =  a 
                                                                        bcs  –  ads  =   –a 
                                                                        ads  –  bcs  =   a   
                                                                         (ad – bc) s  =  a         jadi   s =      a     
                                                                                                                ad  bc
                                                            d         b
                                                                           
                       Jadi :  A1  = p       q =  ad bc        ad bc  =          1       d    b  
                                                                           
                                         r    s          c          a            ad bc c         a 
                                                                                                       
                                                       ad bc      ad bc
                                                                           
                                                                                     d    b
                      maka invers dari A dirumuskan  A1 =                  1                  
                                                                        ad bc c         a 
                                                                                             
                      dimana ad – bc dinamakan determinan. 
                      Jika matriks A mempunyai determinan 0 maka A dikatakan matriks singular, yaitu 
                      matriks yang tidak mempunyai invers. 
                       
                      Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu : 
                      Sifat 1  
                      Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) dan k adalah bilangan real, maka  
                      (k.A)1  1 A1   
                                  k
                      Bukti 
                                         a   b                        a   b        ka    kb
                      Misalkan A =            , maka  k.A =  k             =             
                                        c   d                      c   d      kc    kd
                                                                                       
                                                                          kd     kb
                      Sehingga (k.A)1 =                   1                           
                                                 (ka)(kd) (kb)(kc) kc          ka 
                                                                                     
                                                                 d    b
                                           =         k                   
                                                 2             c     a 
                                               k (ad bc)               
                                                                 d    b
                                           =   1 .     1                 
                                               k (ad bc) c          a 
                                                                        
                                           =   1 A1 
                                               k
                  Matriks 3                                                                                                       2 
                     Sifat 2 
                     Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku (At)1 (A1)t 
                     Bukti 
                                  a   b                    a   c                                        d    c
                     Jika  A =        , maka At  =             sehingga (At)1             1                           
                                 c   d                  b   d                       =   ad  bc b       a  ….....(1)
                                                                                                           
                                           d    b                                           d    c
                     A1  =       1                  sehingga  (A1)t             1                  .......................(2) 
                               ad bc c        a                          =   ad  bc b       a 
                                                                                                  
                     Dari (1) dan (2) terbukti bahwa  (At)1 (A1)t 
                      
                     Sifat 2 
                     Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku  (A1)1  =  A 
                     Bukti 
                     Misalkan : (A1)1  =  B  ..........................................................................................  (1) 
                     Maka  A1 (A1)1  =  A1. B                     (kedua ruas dikalikan dengan A1 dari kiri) 
                                                   I   =     A 1. B              
                                          A  x  I   =   A  x   A 1. B             (Kedua ruas dikalikan dengan A) 
                                                  A  =  I  x  B 
                                                 A  =  B   .......................................................................................... (2) 
                     Dari (1) dan (2) terbukti bahwa   (A1)1  =  A 
                      
                     Sifat 3 
                      Jika A dan B adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku :(A x B)1   B1 x  A1    
                      Bukti  
                      Misalkan  (A x B)1  =  C    ………………………………………………………………(1) 
                      maka         
                      ((A x B)1)1  =  C1                       (kedua ruas di inverskan) 
                                  A x B  =  C1 
                       A1 x  A  x  B  =  A1 x C1    (Kedua ruas dikalikan dengan A1 dari kiri) 
                                I  x  B  =  A1 x C1 
                                    B  =  A1 x C1 
                                 B  x  C  =  A1 x C1  x   C   (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan) 
                                 B  x  C  =  A1 x  I 
                                 B  x  C  =  A1 
                       B1 x  B  x  C  =  B1 x A1            (Kedua ruas dikalikan dengan B1 dari kiri) 
                                I   x   C   =   B1 x  A1 
                                   C   =   B1 x  A1   ……………………………………………..………….. (2) 
                      Dari (1) dan (2) diperoleh :    (A x B)1   B1 x  A1 
                 Matriks 3                                                                                                   3 
                Sifat 4 
                Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 x 2) maka :   
                (1)  Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga   A x B  ≠  B x A 
                (2)  Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A x B) x C  =  A x (B x C) 
                (3)  Berlaku sifat distributif, sehingga  A(B + C)  =  AB  +  AC 
                Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini 
                                  2 5                3  - 5
                01.  Jika  A =         dan  B =          maka buktikanlah bahwa matriks A dan B saling 
                                                 -1   2 
                                  1 3
                                                        
                     invers 
                     Jawab 
                     Jika A dan B saling invers, maka akan berlaku  A  x  B  =  I 
                                            2 5        3   - 5
                     Tinjau :  A  x  B  =         x        
                                                    -1   2 
                                            1 3
                                                          
                                            65 1010
                                        =                    
                                           33      56 
                                                            
                                            1 0
                                        =        
                                           0 1
                                                
                                        =   I           Jadi terbukti bahwa A dan B saling invers 
                 
                    02.  Tentukan invers setiap matriks berikut ini : 
                                      1   3/2                            32 -64
                         (a)   A  =                         (b)  B =            
                                                                              
                                     3/4 5/4                            16 -48
                                                                              
                         Jawab 
                                      1   3/2       4/4  6/4           4 6
                          (a)  A =            =               =   1        
                                                                4      
                                     3/4 5/4        3/4  5/4           3 5
                                                                       
                                                                        5   6
                             maka     A1   =  4 .          1                    
                                                      (4)(5)(6)(3) 3      4 
                                                                               
                                                            5    6
                                       A1   =      4                
                                                 2018 3        4 
                                                                   
                                                      5   6          10   12
                                       A1   =   2.              =           
                                                    3    4        6     8 
                                                                            
                                    32 -64            2 4
                                                          
                         (b)  B =              =  16.              
                                                          
                                    16 -48            1 3
                                                          
                                                                           3 4
                             maka     B1   =   1  .           1                   
                                                  16   (2)(3) (4)(1) 1      2
                                                                                 
                                                                3 4
                                       B1   =   1  .    1              
                                                 16    64 1 2
                                                                      
                Matriks 3                                                                                            4
Kata-kata yang terdapat di dalam file ini mungkin membantu anda melihat apakah file ini sesuai dengan yang dicari :

...M a t r i k s b invers perkalian matriks ordo x identitas dilambangkan dengan adalah sebuah persegi yang memenuhi sifat jika berordo sama maka berlaku untuk dapat dinyatakan sebagai bukti misalkan c d terdapat dari dan ditentukan berikut p q apbr aqbs cpdr cqds sehingga ap br cp dr aq bs cq ds adp bdr bcp ad bc jadi acp bcr adr adq bds bcq acq bcs ads dirumuskan dimana dinamakan determinan mempunyai dikatakan singular yaitu tidak beberapa berkenaan bilangan real ka kb kc kd...
File terkait lainnya

Bagikan halaman ini

Help

File terkait lainnya

Bagikan halaman ini

Bagikan ke sosial media

Help

Login Area
