Pembuktian dengan Induksi Matematik
                                                   Contoh Soal
                                                  Toni Bakhtiar
                                           Departemen Matematika IPB
                                                September 2012
         Toni Bakhtiar (m@thipb)                          PIM                                September 2012     1 / 24
    Example
    Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n
    berlaku
                                 2
              3
                        n                     n+1
         (12)+ 22 + 32 +


+(n2 )=(n1)2                                                             +2.
     Jawab
    De…nisikan semesta dan predikat berikut: S = N,
                                               2
                        n                     n+1
            P(n) : (12)+ 22 +


+(n2 )=(n1)2                                                     +2.
    Basis induksi: untuk n = 1 berlaku
                                         1                  1+1
                       P(1) : 12 = (11)2                        +2,P(1):2=2.
    P(1) benar.
    Hipotesis induksi: untuk k  1, anggap P(k) benar, yaitu berlaku
                                2
              3
                        k                     k+1
        (12)+ 22 + 32 +


+ k2 =(k1)2                                                                +2.
         Toni Bakhtiar (m@thipb)                          PIM                                September 2012     2 / 24
    Langkah induksi: Akan dibuktikan P(k +1) benar, yaitu berlaku
                                                      2
                                 k+1
                              (12)+ 22 +


+ (k+1)2
                        = ((k+1)1)2(k+1)+1+2
                                    k+2
                        = k
2             +2.
    Bukti
                                                   2
                        k                         k+1
     Ruas kiri       = (12)+ 22 +


+ k2 + (k+1)2
                                         k+1                               k+1
                     = (k1)2                  +2+ (k+1)2
                             k+1
                     = 2           [(k 1)+(k +1)]+2
                             k+1
                     = 2           (2k)+2
                                      k+1
                     = k
2
2                +2
                                  k+2
                     = k
2              +2=ruas kanan.
    Terbukti. 
         Toni Bakhtiar (m@thipb)                          PIM                                September 2012     3 / 24
    Example
    Buktikan n3 n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli.
    Misalkan P(n) : n3 n habis dibagi 3. Akan dibuktikan bahwa:
                                                (8n 2 N)P(n).
    Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh 13 1 = 0 habis dibagi 3. P(1)
    benar.
    Hipotesis induksi: untuk n = k dan k  1 andaikan P(k) benar, yaitu
    berlaku
                        k3 k habis dibagi 3 , k3 k = 3m, m 2 Z.
    Langkah induksi: untuk n = k +1 akan dibuktikan P(k +1) benar, yaitu
       (k +1)3 (k +1) habis dibagi 3 , (k +1)3 (k +1) = 3r, r 2 Z.
         Toni Bakhtiar (m@thipb)                          PIM                                September 2012     4 / 24